Наверх

Лекция 2. Ортогональные проекции прямой

По вопросам репетиторства по начертательной геометрии, вы можете связаться любым удобным способом в разделе Контакты. Стоимость и возможные формы обучения (очно или дистанционно) смотрите разделе Цены.
Подробнее о репетиторстве.

2.1. Задание прямой на эпюре

Прямая на чертеже может быть задана изображением прямой, точкой и направлением, отрезком прямой и двумя пересекающимися плоскостями.

ris7

а                                                                  б

Рисунок 2.1 – Проекции прямой

Прямоугольной проекцией отрезка в общем случае является отрезок (второе свойство центрального и параллельного проецирования). На чертеже прямая m (Рисунок 2.1, а) и отрезок АВ (Рисунок 2.1, б) произвольно наклонены к плоскостям проекций. Такие прямые называются прямыми общего положения.

Прямая, не параллельная ни одной из плоскостей проекций, называется прямой общего положения.

Длина прямоугольной параллельной проекции отрезка общего положения всегда меньше длины самого отрезка.

2.2. Прямые частного положения

Прямая, параллельная или перпендикулярная какой-либо плоскости проекций, называется прямой частного положения.

Прямые, параллельные плоскостям проекций, называются прямыми уровня.

Прямая, параллельная горизонтальной плоскости проекций, называется горизонтальной прямой или горизонталью (Рисунок 2.2).

ris9_1

Рисунок 2.2 – Эпюр горизонтали


NG-Lection2-Geogebra1

Если отрезок параллелен плоскости проекций π1, то его фронтальная проекция А2В2 параллельна оси проекций π12, а горизонтальная проекция отрезка А1В1 определяет истинную величину АВ:

А2А0=В2В0

А2В2 || π21

Прямая, параллельная фронтальной плоскости проекций, называется фронтальной прямой или фронталью (Рисунок 2.3).

ris9_2

Рисунок 2.3 – Эпюр фронтали


NG-Lection2-Geogebra2

Если отрезок параллелен плоскости проекций π2, то его горизонтальная проекция параллельна оси проекций π21, а фронтальная проекция отрезка C2D2 определяет истинную величину CD.

С1А0=D1D0

C1D1 || π21

Прямая GH, параллельная профильной плоскости проекций, называется профильной прямой (Рисунок 2.4).


NG-Lection2-Geogebra3

Прямые, перпендикулярные плоскостям проекций, называются проецирующими.

Прямая EF, перпендикулярная горизонтальной плоскости проекций, называется горизонтально-проецирующей (Рисунок 2.4).

Прямая KL, перпендикулярная фронтальной плоскости проекций, называется фронтально-проецирующей (Рисунок 2.4).

Прямая MN, перпендикулярная профильной плоскости проекций, называется профильно-проецирующей (Рисунок 2.4).

ris10b copy

Рисунок 2.4 – Эпюры проецирующих прямых (EF, KL, MN) и профильной прямой GH

2.3. Метод прямоугольного треугольника

Метод прямоугольного треугольника позволяет по эпюру отрезка прямой общего положения определить его истинную величину.

Рассмотрим положение отрезка  АВ относительно горизонтальной плоскости проекций π1 (Рисунок 2.5).

ris12 copy

                              а                                                                         б

Рисунок 2.5 – Определение истинной величины отрезка общего положения

На рисунке 2.5, а:

АА1 – расстояние от точки А до плоскости проекций π1;

ВВ1 – расстояние от точки В до плоскости проекций π1;

А1В1 – проекция отрезка АВ на π1;

∠(AB; AK)=∠(AB; A1B1)=α – угол наклона прямой АВ к плоскости проекций π1.

ΔАКВ – прямоугольный треугольник, в котором:

АК=А1В1 – катет, равный горизонтальной проекции отрезка АВ;

ВК=ВВ1АА11 – второй катет, равный разности расстояний от концов отрезка АВ до плоскости π1 (то есть, разности координат Z точек А и В);

АВ – гипотенуза ΔАКВ – истинная величина.

При известных координатах концов отрезка общего положения можно на эпюре определить его истинную величину (Рисунок 2.5, б) на любой из плоскостей проекций.

Истинная величина отрезка может быть найдена как гипотенуза прямоугольного треугольника, одним катетом которого является проекция этого отрезка на плоскость проекций (А2В2), а другим – разность координат концов этого отрезка до плоскости (Δ2), в которой ведется построение. Угол между истинной величиной (АВ) и проекцией (А2В2) определяет угол наклона (β) прямой к той плоскости проекций, в которой ведётся построение (Рисунок 2.6).

ris13

Рисунок 2.6 – Определение истинной длины и угла наклона отрезка AB к плоскости проекций π2

2.4. Точка и прямая

Если точка принадлежит прямой, то её проекции:

  1. Принадлежат одноимённым проекциям данной прямой;
  2. Лежат на одной линии связи.

ris8_2

Рисунок 2.7 – Принадлежность точки прямой

Точка С принадлежит отрезку АВ (Рисунок 2.7), так как:

  • С1А1В1;
  • С2А2В2;
  • С1С2⊥π21;

Если точка делит отрезок в каком-либо отношении, то проекции этой точки делят одноименные проекции данного отрезка в том же отношении:

\displaystyle{\Large\frac{A_2C_2}{C_2B_2}=\frac{A_1C_1}{C_1B_1}}

Справедливо и обратное утверждение.

Упражнение

Разделить точкой К отрезок EF в соотношении EK:KF=1:3 (Рисунок 2.8)

ris14 copy

Рисунок 2.8 – Деление отрезка в заданном отношении

Решение:

  1. Проведём произвольную прямую из любого конца любой проекции отрезка, например, Е2.
  2. Отложим  на этой прямой от точки Е2 равные отрезки, количество которых равно сумме чисел, составляющих дробь (в нашем примере 1+3=4).
  3. Соединим последнюю точку 4 с другим концом фронтальной проекции отрезка – точкой F2.
  4. Из точки 1 проведём прямую, параллельную прямой (4F2) до пересечения с проекцией E2F2, таким образом будет найдена фронтальная проекция искомой точки К2.
  5. Горизонтальную проекцию точки К1 получим путём построения линии проекционной связи до пересечения её с горизонтальной проекцией отрезка.

Упражнение

Определить принадлежность  точки С отрезку прямой АВ (Рисунок 2.9).

ris15

Рисунок 2.9 – Решение упражнения 2

Ответ: точка С не принадлежит отрезку АВ, так как не выполняется условие принадлежности точки прямой.

2.5. Следы прямой

След прямой – точка пересечения прямой с плоскостью проекций.

Прямая общего положения в общем случае может быть три следа:

  • горизонтальный след M1– точка пересечения прямой с горизонтальной плоскостью проекций π1;
  • фронтальный след N2– точка пересечения прямой с фронтальной плоскостью проекций π2;
  • профильный  след L3 – точка пересечения прямой с профильной плоскостью проекций π3.

След прямой является точкой частного положения, поскольку он принадлежит плоскости проекций, следовательно, след прямой всегда совпадает с одной из своих проекций:

  • горизонтальный след совпадает со своей горизонтальной проекцией M≡M1,
  • фронтальный – с фронтальной проекцией N≡N2,
  • профильный – с профильной проекцией L≡L3 (Рисунок 2.10).

ris2_2

Рисунок 2.10 – Построение следов отрезка прямой АВ

Построим следы отрезка АВ с плоскостями проекций (Рисунки 2.10, 2.11).

Для построения горизонтального следа прямой АB необходимо:

  1. Продолжить фронтальную проекцию прямой АB до пересечения с осью X, точка пересечения М2 является фронтальной проекцией горизонтального следа;
  2. Из точки М2 восстановить перпендикуляр (линию проекционной связи) до его пересечения с горизонтальной проекцией прямой АB или её продолжением. Точка пересечения М1 и будет являться горизонтальной проекцией горизонтального следа, которая совпадает с самим следом М.

Чтобы построить фронтальный след отрезка АB прямой, необходимо:

  1. Продолжить горизонтальную проекцию прямой АB до пересечения с осью X, точка пересечения N1 является горизонтальной проекцией фронтального следа;
  2. Из точки N1 восстановить перпендикуляр (линию проекционной связи) до его пересечения с фронтальной проекцией прямой АB или ее продолжением. Точка пересечения N2 и будет являться фронтальной проекцией фронтального следа, которая совпадает с самим следом N.

Ниже приводим алгоритм построения следов отрезка прямой АВ:

A1B∩ xO =N1;       YN=0;                   ∈ xOz2)      ⇒      AB ∩ xOz=N

A2B∩ xO =M2;       ZM=0;                  ∈ xOy1)     ⇒      AB ∩ xOy=M

A1B∩ yO =L1;        XL=0;                   yOz3)     ⇒      AB ∩ yOz=L

A2B∩ zO =L2;

ris2_12_2

Рисунок 2.11 – Эпюр построения следов отрезка прямой АВ


NG-Lection2-Geogebra4

Прямая, параллельная одной из плоскостей проекций, не имеет следа на плоскости, которой она параллельна, и пересекает только две плоскости. Прямая, параллельная двум плоскостям проекций (проецирующая прямая), имеет только один след, совпадающий с проекцией прямой на плоскость, к которой она перпендикулярна.

2.6. Взаимное расположение прямых

Две прямые в пространстве могут быть:

  • параллельными;
  • пересекающимися;
  • скрещивающимися.

Параллельные прямые – прямые, пересекающиеся в несобственной точке.

Если прямые в пространстве параллельны, то их ортогональные проекции взаимно параллельны, или сливаются, или представляют собой точки, на одной из плоскостей проекций (Рисунок 2.12).

ris2_4

Рисунок 2.12 – Параллельные прямые

Пересекающиеся прямые – прямые, имеющие одну общую точку.

Если прямые в пространстве пересекаются, то на чертеже одноименные проекции прямых пересекаются, при этом проекции точки пересечения прямых лежат на одной линии проекционной связи и делят соответствующие проекции отрезков прямых в равных отношениях (Рисунок 2.13).

\displaystyle{\Large{A_2B_2}\cap{C_2D_2}=K_2}

 

\displaystyle{\Large{A_1B_1}\cap{C_1D_1}=K_1}

 

\displaystyle{\Large\frac{A_2K_2}{K_2B_2}=\frac{A_1K_1}{K_1B_1}}

 

\displaystyle{\Large\frac{C_2K_2}{K_2D_2}=\frac{C_1K_1}{K_1D_1}}

 

ris2_5

Рисунок 2.13 – Пересекающиеся прямые

Скрещивающиеся прямые – прямые, не имеющие общих точек и не удовлетворяющие признакам параллельных и пересекающихся прямых (Рисунок  2.14).

ris2_6

Рисунок 2.14 — Скрещивающиеся прямые

2.7. Проекции плоских углов

Угол между двумя пересекающимися прямыми проецируется в истинную величину, если плоскость этого угла параллельна плоскости проекций.

ris4_1

Рисунок 2.15

По проекциям (Рисунок 2.15) нельзя судить о величине угла между двумя прямыми. На чертежах видно, что острый угол может проецироваться в виде тупого, а тупой – в виде острого.

Теорема о проецировании прямого угла в частном случае

Теорема. Если одна из сторон прямого угла параллельна какой-либо плоскости, а другая – этой плоскости не перпендикулярна, то на эту плоскость прямой угол проецируется в виде прямого угла (Рисунок 2.16, а и б).

Обратная теорема. Если одна из двух пересекающихся прямых параллельна некоторой плоскости проекций и проекции этих прямых на эту же плоскость пересекаются под прямым углом, то в пространстве эти прямые взаимно перпендикулярны.

ris4_2

                                        а                                                         б

Рисунок 2.16 – Проецирование прямого угла


NG-Lection2-Geogebra5


Дано: две пересекающиеся под прямым углом прямые АВ ⊥ ВС,

причём ВС // π1 (Рисунок 2.16,б).

Доказательство:

  1. Проведём через отрезок АВ проецирующую плоскость – σ, σ⊥π1;
  2. Прямые АВ и ВВ1 лежат в плоскости σ;
  3. ВСВВ1 так как ВС//π1, а ВВ1⊥π1;
  4. Следовательно, ВС⊥σ, а значит ВС перпендикулярна и любой прямой, лежащей в плоскости σ, в частности А1В1;
  5. Следовательно В1С1⊥σ;
  6. Так как В1С1//ВС, то В1С1А1В1.

2.8. Задачи для самостоятельного решения

1. Построить отрезок прямой  АВ // π1,  равный 35 мм и наклонённый к π2 под углом 25° (Рисунок 2.17).

ris2_9

Рисунок 2.17

2. Построить отрезок прямой CD по координатам его концов С (20; 15; 30), D (70; 40; 15) и определить истинную величину отрезка и углы наклона его к плоскостям проекций π2 и π1.

3. Постройте проекции отрезков частного положения, расположенных под углом 30° к плоскости проекций π1 и 45° — к плоскости проекций π2.

4. Определите взаимное положение прямых и постройте пересечение прямых АВ и CD прямой EF//π21 (Рисунок 2.18).

ris2_7

Рисунок 2.18

По вопросам репетиторства по начертательной геометрии, вы можете связаться любым удобным способом в разделе Контакты. Стоимость и возможные формы обучения (очно или дистанционно) смотрите разделе Цены.
Подробнее о репетиторстве.

Поделиться с друзьями