Геометрическим множеством (ГМ) называется множество геометрических элементов (ГЭ), обладающих каким-либо общим геометрическим свойством.
5.1. Геометрические множества
ГМ точек | ГМ прямых | ГМ плоскостей |
---|---|---|
1. Удаленных от заданной точки О на расстояние l | ||
Сфера радиусом l с центром в точке О. | Совокупность прямых, касательных к сфере радиусом l с центром в точке О. | Совокупность плоскостей, касательных к сфере радиусом l с центром в точке О. |
2. Удаленных от данной прямой m на расстояние l | ||
Цилиндрическая поверхность радиусом l и осью m. | Совокупность прямых, касательных к поверхности цилиндра радиусом l и осью m, а также все образующие этой цилиндрической поверхности. | Совокупность плоскостей, касательных к поверхности цилиндра радиусом l и осью m. |
3. Удаленных от данной плоскости σ на расстояние l | ||
Две плоскости τ1 и τ2//σ, расположенные по разные стороны от неё на расстоянии l | ||
4. Равноудаленных от точек А и В | ||
Все точки плоскости σ⊥АВ, проходящей через середину отрезка АВ. | Совокупность прямых, касательных к поверхностям сфер равного диаметра с центрами в точке А и В. | Совокупность плоскостей, касательных к поверхностям сфер равного диаметра с центрами в точке А и В. |
5. Равноудаленных от двух параллельных прямых | ||
Плоскость, проходящая через середину отрезка (расстояния между данными прямыми) и перпендикулярная ему. | Совокупность прямых, лежащих в плоскости, проходящей через сере-дину отрезка (расстояния между данными прямыми) и перпендикулярной ему. | Плоскость, проходящая через середину отрезка (расстояния между данными прямыми) и перпендикулярная ему, а также две плоскости, касательные к двум цилиндрическим поверхностям с осями – данными прямыми и равного диаметра. |
5.2. Алгоритм решения задач методом геометрических множеств
-
- Условие задачи разбиваем на ряд простейших условий, каждому из которых должно отвечать определенное свойство искомого элемента (или элементов).
-
- Для каждого простейшего условия определяем удовлетворяющее ему геометрическое множество элементов.
-
- Находим общее решение задачи как некое геометрическое множество элементов, удовлетворяющих одновременно всем простейшим условиям. Оно представляет собой пересечение выбранных элементарных геометрических множеств.
- Проводим анализ возможных решений, цель которого выявить когда, сколько и каких решений может быть в данной задаче в зависимости от взаимного положения заданных геометрических элементов, а, следовательно, связанных с ним геометрических множеств.
Упражнение
1. На заданной прямой m построить точку, удаленную от точки О на расстояние l (Рисунок 5.1).
Рисунок 5.1
I. Геометрическое решение в пространстве
- Искомые точки должны принадлежать прямой m, следовательно, решение по первому условию – любая точка на прямой.
- Множество точек, удаленных от точки О на расстояние l образуют в пространстве сферу, с центром в точке О и радиусом равным l.
- Общее решение задачи – точки, одновременно принадлежащие прямой m и сфере, то есть точки пересечения прямой m со сферой.
II. Графическое решение задачи (Рисунок 5.2).
Рисунок 5.2
III. Анализ возможных решений (Рисунок 5.3).
Рисунок 5.3
- O∈m;
- O∉m;
Обозначим Δ – расстояние от точки О до прямой m:
- l > Δ – прямая пересечет сферу в двух точках;
- l = Δ – m – касательная к сфере → одна точка;
- l < Δ – решения нет.
IV. Краткая запись построения
-
- Строим проекцию сферы с центром в точке О и радиусом l.
-
- Через прямую m проводим секущую плоскость, например, σ⊥π1. Плоскость σ пересекает сферу, в сечении – окружность.
- Вводим ДПП π3⊥π1 и π3//σ.
- Строим на π3 проекции прямой m и окружности сечения, определяем точки пересечения прямой с окружностью, которые являются искомыми.
Упражнение
2. В плоскости σ=ΔАВС через точку А провести прямую AD, удаленную от точки О на расстояние l (О∈σ) (Рисунок 5.4). Геометрическое решение в пространстве
- Прямая AD, удаленная от точки О на расстояние l, является касательной к сфере радиусом Rсф = l с центром в точке О.
- Прямая AD∈σ.
Плоскость σ пересекает сферу по окружности.
Искомая прямая AD – касательная к окружности сечения плоскости σ и сферы.
II. Графическое решение задачи
Рисунок 5.4
III. Анализ возможных решений
Обозначим Δ – расстояние от точки О до плоскости σ:
- l > Δ – плоскость пересечет сферу по окружности, → две прямые, проходящие через точку А и касательные к окружности сечения (если точка А вне окружности); если точка А на окружности сечения – одна прямая;если точка А внутри окружности сечения – решения нет;
- l = Δ – плоскость касается сферы → одна прямая, проходящая через точку А и точку касания; если точка А совпала с точкой касания → бесконечное множество прямых принадлежащих плоскости σ;
- l < Δ – решения нет.
IV. Краткая запись построения
Находим истинную величину треугольника АВС, например, с помощью введения ДПП:
- π3⊥π1 и π3⊥σ.
- π4⊥π3 и π4//σ.
- Строим окружность сечения σ со сферой. Строим касательные к этой окружности, проходящие через точку А.
5.3. Задачи для самостоятельной работы
1. Задана плоскость α=∆АВС и прямая m – общего положения. Определить угол между прямой m и плоскостью α. 2. Задана плоскость α=∆АВС и точка D вне плоскости. Повернуть точку D так, чтобы она совпала с плоскостью α. Ось вращения i⊥π1.
ГМ точек | ГМ прямых | ГМ плоскостей |
---|---|---|
6. Равноудаленных от двух пересекающихся прямых | ||
… | … | … |
7. Равноудаленных от двух параллельных плоскостей. | ||
… | … | … |
8. Равноудаленных от двух пересекающихся плоскостей. | ||
… | … | … |